4.2.1 Regra do Trapézio

Como já sabemos da definição de integral na forma geométrica, o resultado de uma integral definida é a área compreendida abaixo da curva.

Assim da definição temos:

$\displaystyle I_{ab} = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \lim \limits_{\Delta x_i \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x_i$

(4.2.1)

O primeiro termo da direita para a esquerda da equação 4.2.1 representa um somatório de $f(x_i) \Delta x_i$ que são áreas retangulares discretizadas dada pelo largura $\Delta x_i$ e altura $f(x_i)$ . Para um $\Delta x_i$ muito pequeno conseguimos calcular a área total abaixo de uma curva compreendida entre $a$ e $b$ .

A representação gráfica da equação 4.2.1 é dada pela figura:

A Regra do Trapézio propriamente dita consiste em fazer uma interpolação linear entre os pontos ( $x_i$ , $f(x_i)$ ) consecutivos cuja soma fica da seguinte forma.

$\begin{displaymath} \begin{array}{cl} I_{ab} =& \Delta x \left ( \frac{1}{2}f(x_... ...{1}{2} \left( f(x_1) + f(x_N) \right ) \right ) \\ \end{array}\end{displaymath}$

Outra forma de calcularmos uma integral numérica é tirarmos uma média entre $x_i$ e $x_{i+1}$ e calcular a altura do retângulo pela média entre pontos utilizando $f((x_{i+1} - x_{i})/2)$ e assim multiplicarmos por $\Delta x$ .

$\begin{displaymath} \begin{array}{cl} I_{ab} =& f ( \frac{x_2 - x_1}{2}) (x_2 - ... ... x_1 + \frac{2i+1}{2} \Delta x \right) \Delta x \\ \end{array}\end{displaymath}$

Para desenvolvermos a nossa atividade utilizaremos as equações 4.2.2 e 4.2.3, em que $a=0$ e $b=1$ são os limites de integração para as duas equações.

$\displaystyle I_{01} = \int \limits_{0}^{1} e^x \ dx = 1,7183, \$ onde $\displaystyle \ f(x) = e^x$

(4.2.2)

$\displaystyle I_{01} = \int \limits_{0}^{1} e^{-x^2}cos(7x) \ dx = 0,0210495, \$ onde $\displaystyle \ f(x) = e^{-x^2}cos(7x)$

(4.2.3)