Cálculo da Força e Energia Potencial

Como vimos no início do capítulo calcularemos a força conforme a equação 6.0.2. O potencial é o conhecido Lennard-Jones 6-12 dado pela equação 6.4.1 e a derivada pela equação 6.4.2. Em geral, como a força e a energia potencial envolve alguns parametros iguais o cálculo é realizado simultaneamente.

$$U(r) = 4\epsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{6} \right]$$ (6.4.1)

$$F(r) = - \frac{dU(r)}{dr} = 24 \frac{\sigma}{\epsilon} \left[ 2 \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{13} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{7} \right]$$ (6.4.2)

• $r$ é a distância entre o átomo $i$ e o átomo $j$;
• $\epsilon$ é o mínimo valor do gráfico $U(r)$ vs $r$;
• $\sigma$ é a distância de equilíbrio de vdW no gráfico $U(r)$ vs $r$;
• $\epsilon = 0.185$ e $\sigma = 3.868$, da referência [18].

O cálculo da energia potencial é realizada da seguinte maneira:

$$u(r) = \sum \limits_{i}^{N} \sum \limits_{i<j}^{N} U(r_{ij})$$ (6.4.3)

o mesmo deve aser aplicado para o cálculo da força. É de se observar que o somatório envolve o átomo $i$ com todos os átomos $j$, no entando não iremos calcular para todos os átomos $j$. Iremos truncar o somatório no cálculo do potencial e da força se a distância $r_{ij} > r_c$, em que $r_c$ é um raio de corte. A justificativa para essa truncagem baseia-se no fato de que as contribuições acima do raio de corte são muito pequenas, já que o potencial é de curto alcance. Utilizaremos como raio de corte um valor de $2.5\sigma$ [19].

Outro detalhe que devemos nos atentar é que as posições, velocidades e acelerações estão em coordenadas cartesianas e o potencial e a força estão em coordendas polares esféricas ($F$ e $U$ estão em função de $r$). O fato é que para atribuir os valores para as componentes da aceleração deveremos fazer uma conversão de coordenadas polares esféricas para coordenadas cartesianas. Neste ponto é o único momento em que iremos utilizar a transformação de coordenadas.