7.1 Modelo de Ising

O modelo de Ising é um dos mais simples e mais estudado dos modelos de mecânica estatística. Nesta parte olharemos em detalhe o método de Monte Carlo, que têm sido utilizados para investigar as propriedades deste modelo. Durante o desenvolvimento iremos comentar sobre alguns truques utilizados para implementação dos algoritmos de Monte Carlo em códigos computacionais e algumas técnicas utilizadas para analisar os dados gerados por esses programas.

O modelo de Ising é um simples modelo de magnetismo, em que dipolos ou ``spins'' são colocados no sítios de uma rede. Cada spin pode assumir qualquer um dos valores: $+1$ e $-1$. Se tivermos $N$ sítios na rede, então o sistema pode ser $2N$ estados, e a energia de um estado particular é dada pelo hamiltoniano de Ising:

$$H=-J\sum _{\langle \mathit{ij}\rangle }s_{i}s_{j}-B\sum _{i}s_{i}$$ (7.1.1)

onde $J$ é uma energia de interação entre o primeiro spin vizinho <ij>, e $B$ é um campo magnético externo. Nós estamos interessados em simular um sistema Ising de tamanho finito usando um método de Monte Carlo, para que possamos estimar os valores das quantidades, como a magnetização média por spin $\langle m\rangle =\frac{1}{N}\langle \sum _{i}s_{i}\rangle$ ou o calor específico $c=\frac{k\beta ^{2}}{N}(\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2})$, em qualquer temperatura dada. A maioria das questões interessantes sobre o modelo de Ising podem ser respondidas através de simulações na ausência do campo magnético ($B=0$), no qual nós iremos nos dedicar.