7.5 Medições

Uma vez que temos a certeza do equilíbrio ter sido atingido, é preciso medir a propriedade que estamos interessado. As propriedades que estamos interessados são a energia e a magnetização do sistema. A energia $E_{\mu}$ do estado $\mu$ pode ser calculada diretamente a partir do Hamiltoniano, através dos valores dos spins $s_i$, a partir da matriz de inteiros. A maneira de fazer isso é lembrar que a diferença de energia entre os estados $\nu$ e $\mu$ é dada por $\Delta E= E_{\nu}-E_{\mu}$, de acordo com a equação Eq. 10. Com isso, se sabemos que a energia do atual estado $\mu$, podemos calcular a energia do novo estado $\nu$ fazendo a soma:

$$E_{\nu }=E_{\mu }+\Delta E$$ (7.5.1)

O que pode ser feito é calcular a energia inicial do sistema no início da simulação e em seguida calcular a nova energia quando o spin é flipado para cada passo da simulação.

O cálculo da magnetização é ainda mais fácil. A magnetização total $M_{\mu}$ de todo o sistema no estado $\mu$, é dada por:

$$M_{\mu }=\sum _{i}s_{i}^{\mu }$$ (7.5.2)

Apesar da magnetização total ser dada pela equação acima, a maneira mais rápida não é utilizando ela. Lembremos que apenas um spin $k$ flipa em um passo do algoritmo de Metropolis assim a diferença de magnetização de uma estado $\mu$ para um estado $\nu$ é dada por:

$$\Delta =M_{\nu }-M_{\mu }=\sum _{i}s_{i}^{\nu }-\sum _{i}s_{i}^{\mu }=s_{k}^{\nu }-s_{k}^{\mu }=2s_{k}^{\nu }$$ (7.5.3)

em que o último termo é dada pela Eq. 9. Então calcula-se a magnetização no início da simulação e durante a evolução do sistema (para cada flip de spin) utiliza-se a equação

$$M_{\nu }=M_{\mu }+\Delta M=M_{\mu }+2s_{k}^{\nu }$$ (7.5.4)

Com a energia e a magnetização do sistema no decorrer da evolução da simulação, podemos fazer médias dos valores podemos encontrar a energia interna e a magnetização. Em seguida, dividindo-se as médias obtidas pelo número de sítios $N$ teremos a energia interna e magnetização por sítio.

Com as quantidades das propriedades é possível calcular também a média dos quadrados da energia e da magnetização para encontrar outras quantidades como o calor específico e susceptibilidade magnética:

$$c=\frac{\beta ^{2}}{N}(\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle^{2})$$ (7.5.5)

$$\chi =\beta N(\langle m^{2}\rangle -\langle m\rangle ^{2})$$ (7.5.6)